Simulation of Charged Hydrated Porous Materials

Es ist das Ziel dieser Arbeit, das Verhalten von geladenen, hydratisierten, mehrphasigen Materialien zu verstehen und thermodynamisch konsistent zu modellieren, um anschließend anhand von numerischen Simulationen die Reaktion dieser Materialien auf Veränderungen in ihrer Umgebung wirklichkeitsnah wiedergeben zu können. Hydratisierte, poröse Medien sind aus mehreren Konstituierenden zusammengesetzt, d. h. sie bestehen aus einem geladenen Festkörperskelett, in dessen Hohlräumen sich ein viskoses Porenfluid bewegt. Dieses Porenfluid wiederum besteht aus einem Lösungsmittel und den gelösten Ionen eines Salzes. Durch diesen speziellen Aufbau antworten solche Materialien mit Quell- und Schrumpfprozessen auf elektrische Felder und auf Änderungen der chemischen Zusammensetzung ihrer Umgebung. Sie kommen sowohl in der Geomechanik als auch in der Biomechanik vor. Als Beispiele aus der Geomechanik seien hier Ton und Schiefer genannt und in der Biomechanik zählen die weichen biologischen Gewebe, d. h. das Knorpelgewebe oder der innere Kern der Bandscheiben, der Nucleus Pulposus, dazu. An der oben beschriebenen Zusammensetzung dieser Materialien wird schon deutlich, dass sie eine komplizierte Mikrostruktur aufweisen. Solch eine Mikrostruktur lässt sich am besten durch ein kontinuumsmechanisches Modell beschreiben. Aus diesem Grund basiert die vorliegende Arbeit auf der makroskopischen Theorie Poröser Medien (TPM). Nach einer kurzen Einführung in die Thematik der geladenen, hydratisierten Materialien wird auf die grundlegenden Konzepte, auf denen die Theorie Poröser Medien und somit auch diese Arbeit beruht, eingegangen. Nach diesem allgemeinen, für alle Mehrphasenkontinua gültigen Teil, werden die axiomatisch eingeführten Bilanzgleichungen anhand von entsprechenden Annahmen an die gegebene Situation angepasst. Dazu zählt beispielsweise, dass das betrachtete Kontinuum zunächst aus zwei nicht mischbaren Phasen, dem Festkörperskelett und dem Porenfluid besteht und zum anderen besteht das Porenfluid selber aus mischbaren Komponenten. Die zwei starken Restriktionen an das Gesamtaggregat, d. h. die Sättigungsbedingung und die Elektroneutralitätsbedingung werden anhand von Lagrange-Multiplikatoren in die Entropieungleichung eingearbeitet. Anschließend wird die Entropieungleichung ausgewertet. Durch diese Vorgehensweise ist sichergestellt, dass die konstitutiven Annahmen die Entropieungleichung nicht verletzen. Das Ergebnis ist ein Modell, welches die Festkörperdeformation anhand eines Neo-Hooke-Ansatzes beschreibt, die Porenfluidbewegung anhand einer erweiterten Darcy-Gleichung, die Ionendiffusion anhand einer erweiterten Form der Nernst-Planck-Gleichung und das elektrische Potential über die Poisson-Gleichung. Die Theorie wird anschließen so aufbereitet, dass Anfangs-Randwertprobleme anhand eines numerischen Verfahrens wie der Finite-Elemente-Methode (FEM) gelöst werden können. Dazu werden zunächst die Anfangs- und Randbedingungen für die einzelnen partiellen Differentialgleichungen (PDG) diskutiert. Bei näherer Betrachtung fällt auf, dass sich für die Lösung des PDG-Satzes unterschiedliche Primärvariablensätze auswählen lassen. Die entsprechend benötigten Gleichungssätze werden diskutiert und die jeweiligen Vor- und Nachteile herausgestellt. Ebenso werden mögliche Vereinfachungen diskutiert, bei denen durch spezielle Annahmen die Anzahl der Primärvariablen und somit die Anzahl der zu lösenden Gleichungen reduziert wird. Des weiteren fällt hier auf, dass je nach Wahl des Primärvariablensatzes die Randbedingungen vom aktuellen Zustand des Gebietes abhängen. Solche Randbedingungen treten auch bei Strömungen mit freien Oberflächen und bei der Fluid-Struktur-Interaktion auf. Die Dirichlet-Randbedingungen dieser Gleichungen werden schwach erfüllt. Anschließend werden Simulationen anhand des in dieser Arbeit hergeleiteten Modells durchgeführt. In einem ersten Schritt werden zunächst die unterschiedlichen Primärvariablensätze numerisch hinsichtlich Genauigkeit und Stabilität untersucht. Dabei zeigt sich, dass der Primärvariablensatz mit den meisten schwach zu erfüllten Randbedingungen zu bevorzugen ist. Um die Leistungsfähigkeit des Modells zu demonstrieren, werden abschließend noch dreidimensionale Simulationen eines quellenden Hydrogel-Zylinders und einer Zange aus einem elektroaktivem polymer (EAP), die sich durch Anbringen einer elektrischen Spannung schließt, gezeigt. Abschließend lässt sich sagen, dass, obwohl die Formulierung anhand des Gesamtdrucks und der molaren Konzentration einen merklichen Mehraufwand für die Programmierung bedeutet, dieser Satz an Primärvariablen numerisch weitaus stabiler und um ein vielfaches schneller ist.